By Marina Sousa 
O conceito de infinito, embora natural na matemática, frequentemente surge como um sinal de alerta na física. Contudo, muitas das teorias que descrevem o nosso Universo se apoiam em modelos que, paradoxalmente, produzem justamente essas infinitudes. Uma pesquisa em física matemática, realizada por cientistas do Instituto de Física de São Carlos (IFSC) da USP, lança luz sobre como ferramentas matemáticas modernas podem ser empregadas para manejar singularidades – pontos onde grandezas como massa, carga elétrica ou força parecem divergir ao infinito.
Pedro de Castro Diniz, pesquisador do IFSC, desenvolveu uma estrutura matemática baseada na teoria das distribuições para lidar com funções singulares, objetos que perdem sua definição em certos pontos. Um exemplo clássico é a gravidade: à medida que a distância entre dois corpos diminui, a força gravitacional aumenta dramaticamente. Em modelos idealizados, quando essa separação se aproxima de zero, a magnitude da força diverge para o infinito.
O Desafio do Infinito na Física
Para a física, essa divergência não representa necessariamente um infinito “real”, mas sim um limite associado à forma como o sistema foi modelado. “As ferramentas da teoria das distribuições nos ajudam a lidar com essas funções que são, matematicamente, ‘mal-comportadas’. A descrição matemática de um problema, por vezes, cria novos problemas. No caso das singularidades, por um lado, ganhamos poder descritivo; por outro, criamos o problema do infinito naquele ponto”, explica Emanuel Alves de Lima Henn, orientador de Pedro Diniz e coautor do artigo “Estrutura distribucional de derivadas singulares: aplicações em eletrostática e elasticidade”. Ele destaca que o estudo publicado busca superar esses desafios que surgem ao descrevermos nossos modelos dessa maneira.
A teoria das distribuições permite manipular singularidades presentes na física matemática. A distribuição delta de Dirac, por exemplo, utilizada no estudo, é ideal para descrever conceitos como uma massa pontual ou uma carga elétrica concentrada.
A “Vaca Esférica”: O Poder da Idealização Científica
Ao representar uma carga elétrica, a massa de um planeta ou a aplicação de uma força como concentradas em um único ponto no espaço, estamos fazendo uma idealização. Reduzimos objetos extensos a entidades matemáticas sem volume. Essas idealizações são o cerne da modelagem científica. Uma anedota famosa entre físicos ilustra bem: um fazendeiro, preocupado com a baixa produção de leite de suas vacas, busca ajuda de cientistas. Após semanas de estudo, o físico teórico anuncia: “Senhoras e senhores, temos a solução! Mas ela só funciona para vacas esféricas no vácuo.”
Apesar do tom bem-humorado, a piada revela a profundidade da ciência. Grande parte do sucesso da física reside em reduzir fenômenos complexos a modelos simplificados, capazes de tornar o mundo mais compreensível, quantificável e previsível. Para isso, os cientistas precisam decidir quais características de um sistema são relevantes para descrever um determinado comportamento, e, nesse processo, muitos aspectos da realidade são deliberadamente ignorados. O infinito emerge como uma consequência quase inevitável dessas idealizações que tornam a ciência possível. “Isso é profundamente característico da física como ciência”, afirma Emanuel Henn.
Ele detalha: “Nós estamos tentando entender a natureza, que é extraordinariamente complexa; se todos os fatores fossem levados em conta, nenhuma solução seria possível. Quando pensamos em uma situação ideal, simplificamos o suficiente para resolver um problema específico. Em seguida, avançamos gradualmente para uma complexidade maior, permitindo que nossos modelos descrevam a realidade de forma cada vez mais precisa.” Para astronautas em órbita lunar, por exemplo, tratar a Terra como uma massa pontual funciona perfeitamente para calcular os efeitos gravitacionais em sua nave. Para a geografia, contudo, é preciso considerar montanhas, oceanos e irregularidades na crosta terrestre. Assim, o mesmo objeto pode ser representado em diferentes níveis de abstração na ciência, dependendo do fenômeno em estudo – e, mesmo sem corresponderem exatamente ao mundo real, esses modelos permanecem extremamente eficazes.
A Matemática como Linguagem da Natureza
“A física não é a natureza; é uma descrição da natureza”, pontua Wagner Lannes, professor e pesquisador da Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri (UFVJM). Segundo ele, a matemática também é uma aproximação que “funciona não porque reproduz fielmente o mundo, mas porque cria formas organizadas de descrevê-lo”. Lannes observa que “muitas vezes, matemáticos desenvolvem conceitos para resolver problemas dentro da própria matemática, sem imaginar qualquer aplicação prática”.
Assim como ocorreu com os números complexos – com um componente “imaginário” adicionado para resolver problemas específicos – e com as geometrias não euclidianas, como a elíptica e a hiperbólica, que existem fora de um espaço plano, o infinito também passou por um longo processo de legitimação antes de se tornar uma ferramenta central na matemática. Esses exemplos, segundo o pesquisador, mostram que abstrações aparentemente distantes da realidade podem revelar estruturas profundas subjacentes ao mundo natural.
Como historiador da matemática, Wagner Lannes argumenta que a transformação do infinito em uma ferramenta é resultado de um processo histórico. “Não foi a matemática em si que veio a lidar com o infinito. Foram comunidades de matemáticos que desenvolveram linguagens capazes de transformá-lo em algo que pudesse ser definido e comunicado.” Desde os paradoxos de Zenão na Grécia Antiga até os infinitos de diferentes tamanhos propostos por Georg Cantor no século XIX, o conceito esteve frequentemente cercado por controvérsias filosóficas e matemáticas. Para Lannes, a linguagem tornou possível lidar consistentemente com algo que parecia fugir à experiência cotidiana. O paradoxo de Zenão, por exemplo, ilustra como a intuição sobre o infinito pode ser enganosa, mas a matemática moderna encontrou formas de resolver essas aparentes contradições.
Singularidades: Entre a Abstração e a Realidade Observável
Se a matemática aprendeu historicamente a “domar” o infinito pela linguagem, a física continua a se deparar com situações em que ele ressurge como um problema concreto nos modelos utilizados. Pedro Diniz, autor do estudo que aborda o infinito na física, defende: “Não deveriam existir infinitos na natureza. O infinito indica que algo provavelmente está sendo deixado de fora.” Com essa afirmação, o pesquisador enfatiza que, na física, o surgimento de infinitos geralmente sinaliza os limites do modelo empregado. Apesar dessas limitações, a matemática permanece a linguagem primária da física, uma confiança que acompanha a ciência moderna desde Galileu.
O problema surge quando a possível representação da realidade desafia a intuição humana sobre continuidade, infinito e espaço. Nesses casos, formalismos como a teoria das distribuições permitem lidar com situações em que os modelos tradicionais parecem perder o sentido. O que outrora parecia uma “monstruosidade” matemática assombrando as descrições físicas, passa a revelar uma necessidade: a de expandir as ferramentas para descrever a realidade.
Segundo Pedro Diniz, infinitos literais não existem na natureza (como densidade infinita), mas aparecem frequentemente quando cientistas estendem um modelo idealizado além da escala em que ele permanece interpretável. “O interessante é que isso não torna o modelo inútil. Muitas vezes, mesmo quando a descrição diverge (ou seja, quando um ‘infinito’ aparece), a teoria ainda nos permite extrair uma grandeza física finita e bem definida. É exatamente isso que a teoria das distribuições nos mostra. Conseguimos perceber que, de fato, não existe um infinito físico ali”, afirma.
Em física, certas estruturas também são chamadas de singularidades, sendo o buraco negro o exemplo mais conhecido. “As singularidades que tratamos no estudo, como considerar uma carga elétrica, toda a massa de um corpo ou uma força concentrada em um único ponto, são idealizações. Mais do que isso, esses exemplos claramente parecem idealizações. O tipo de singularidade associada a um buraco negro, por outro lado, permanece indecifrável”, explica Emanuel Henn.
Embora compartilhem o mesmo nome, singularidades matemáticas e físicas pertencem a contextos distintos. Na matemática, a singularidade é um conceito abstrato relacionado a funções e limites. Na física, aponta para curvaturas, densidades ou forças infinitas, representando, na verdade, uma limitação das teorias atuais – um sinal de que elas deixam de funcionar sob condições extremas, indicando a necessidade de descrições mais abrangentes da natureza.
Com o infinito servindo de elo, as singularidades revelam uma tensão antiga entre matemática e física. Segundo Vinicius Carvalho, pesquisador em Filosofia da Física na Universidade Federal de Mato Grosso do Sul (UFMS), enquanto a matemática é livre para explorar entidades abstratas, a física mantém um compromisso duradouro com a observação e a experiência. “Matemáticos podem ser ousados”, explica. “Físicos também podem imaginar livremente, mas, em algum momento, suas teorias precisam retornar ao mundo observável.”
É precisamente nesse ponto que as singularidades se tornam problemáticas. “Uma singularidade representa o fim da física”, diz Carvalho. Isso porque, nesse ponto, as próprias grandezas que a física busca descrever – espaço, tempo, massa e energia – desaparecem. O resultado é um objeto puramente matemático: um ponto adimensional sem propriedades físicas observáveis. Por essa razão, as singularidades ocupam uma região fronteiriça entre duas formas distintas de compreender o mundo: de um lado, a abstração matemática; de outro, a exigência física de que as teorias mantenham alguma conexão com a experiência.
Mesmo assim, o pesquisador enfatiza que os infinitos desempenham um papel importante na construção de teorias. Eles permitem explorar possibilidades, formular hipóteses e desenvolver novos modelos, inclusive ajudando a resolver problemas do mundo real. Isso não significa, contudo, que todo elemento introduzido por essas teorias tenha uma contraparte física observável. “Toda física é matemática, mas nem toda matemática é física”, conclui Carvalho.
Em meio a idealizações, singularidades e abstrações, o infinito pode revelar menos sobre a existência de algo sem fim na natureza e mais sobre o processo de construção do conhecimento científico, em um esforço contínuo para descrever um mundo que é sempre mais complexo do que as teorias que construímos para explicá-lo. Nas palavras de Einstein: “Uma coisa eu aprendi em uma vida longa: que toda a nossa ciência, medida contra a realidade, é primitiva e infantil – e, no entanto, é a coisa mais preciosa que temos.”
O artigo “Estrutura distribucional de derivadas singulares: aplicações em eletrostática e elasticidade” foi publicado no Brazilian Journal of Physics Education e pode ser acessado neste link.
Fonte: jornal.usp.br